Τα διαγράμματα Venn μπορεί να μην έλυσαν κάποιο άλυτο μέχρι την εμφάνισή τους μαθηματικό πρόβλημα, αλλά οι αλληλοτεμνόμενοι δακτύλιοί τους αποτελούν μια συμπαγή και εύχρηστη αναπαράσταση των σχέσεων μεταξύ συνόλων και γι' αυτό συνεχίζουν να χρησιμοποιούνται στη σχολική εκπαίδευση, σε γραφήματα και σε διαδικτυακά μιμίδια.

Πέρα από την αξιοποίησή τους ως οπτικών βοηθημάτων μπορούν να χρησιμοποιηθούν στην επίλυση προβλημάτων λογικής που προκύπτουν στην καθημερινή ζωή, ενώ γίνονται και αφορμή για τη διατύπωση γεωμετρικών ερωτημάτων προς απάντηση. Για παράδειγμα, κανείς δεν έχει δει διάγραμμα Venn με τέσσερις αλληλεπικαλυπτόμενους κύκλους, επειδή απλώς κάτι τέτοιο είναι αδύνατο να υπάρξει. Ο ίδιος ο Venn το ανακάλυψε και βρήκε έξυπνο τρόπο να το παρακάμψει, που όμως έφερε στην επιφάνεια βαθύτερα γεωμετρικά αινίγματα, τα οποία οι μαθηματικοί ακόμη μελετούν.

Ο Venn παρουσίασε τα διαγράμματα που πήραν το όνομά του το 1880, ως μέθοδο οπτικοποίησης των προόδων στη λογική εκείνη την εποχή. Τα διαγράμματα δεν άργησαν να βρουν εφαρμογή στη θεωρία συνόλων, που ασχολείται με συλλογές αντικειμένων. Τα τυπικά διαγράμματα Venn αποτελούνται από αλληλεπικαλυπτόμενους κύκλους, που ο καθένας αντιπροσωπεύει ένα σύνολο στοιχείων (π.χ. κινηματογραφικών έργων που ανήκουν στην ίδια κατηγορία). Η κοινή περιοχή δύο κύκλων περιέχει τα στοιχεία που ανήκουν και στα δύο σύνολα.

Φανταστείτε ότι θα διοργανώσετε μια γιορτή με προσκεκλημένους τρεις φίλους σας, που δεν τα πάνε και τόσο καλά μεταξύ τους. Αν έρθει η Μαρία, τότε το ίδιο θα κάνει και ο Φίλιππος. Αν έρθει ο Βασίλης, τότε θα έρθει και κάποιος άλλος. Ο Βασίλης δεν θα έρθει αν έρθει η Μαρία, αλλά θα έρθει εφόσον εκείνη δεν έρθει. Αν και ο Φίλιππος και ο Βασίλης έρθουν στη γιορτή, τότε θα έρθει και η Μαρία. Ποιος λέτε ότι τελικά θα σας κάνει την τιμή; Η απάντηση στο πρόβλημα αυτό είναι δύσκολη όταν διατυπωθεί μόνο λεκτικά. Ομως, ένα διάγραμμα Venn επιτρέπει την οπτικοποίησή του και μέσω αυτής την επίλυσή του. Κάθε προϋπόθεση αποκλείει κάποια ενδεχόμενα, πράγμα που σηματοδοτείται με τη διαγράμμιση των αντίστοιχων περιοχών στο διάγραμμα Venn (βλ. σταδιακά την εφαρμογή των προϋποθέσεων στο γραφικό με τα 4 διαγράμματα).

Τα περισσότερα διαγράμματα Venn απεικονίζουν δύο ή τρεις αλληλεπικαλυπτόμενους κύκλους. Το διάγραμμα με τους τέσσερις κύκλους, που χαρακτηρίζονται με τα γράμματα A, B, C και D, δείχνει ότι είναι αδύνατο να οπτικοποιηθούν όλα τα δυνατά ενδεχόμενα που σχετίζονται με τέσσερις κύκλους. Στο διάγραμμα δεν υπάρχει μια περιοχή που μόνο ο A και ο C να αλληλεπικαλύπτονται επιμέρους, ούτε περιοχή που μόνο ο B και ο D να αλληλεπικαλύπτονται επιμέρους. Το πρόβλημα είναι ότι δεν υπάρχει περιοχή αλληλεπικάλυψης των A και C ή των B και D, που να μην επικαλύπτεται από τουλάχιστον έναν ακόμη κύκλο. Οποιαδήποτε μετακίνηση των κύκλων δεν αλλάζει αυτό το γεγονός. Κάθε διάγραμμα με τέσσερις κύκλους πάσχει από αυτό το πρόβλημα.

Δεν υπάρχει λόγος να περιοριστεί κανείς στους κύκλους, αλλά αν χρησιμοποιηθούν κατάλληλα καμπυλωμένα σχήματα, ώστε να αντιμετωπίζονται τα παραπάνω προβλήματα, το διάγραμμα θα χάσει τη χάρη και την ευκρίνειά του. Οι τρισδιάστατες σφαίρες θα έλυναν το πρόβλημα, αλλά τα τρισδιάστατα σχήματα γίνονται πιο δύσκολα κατανοητά. Ο Venn πρότεινε ως λύση τη χρήση ελλείψεων αντί κύκλων για το πρόβλημα των 4 συνόλων. Τόσο ο ίδιος όσο και άλλοι μαθηματικοί θεωρούσαν ότι οι ελλείψεις δεν θα ήταν αποτελεσματικές για 5 σύνολα, μέχρι που ο Grunbaum, με ένα όμορφο διάγραμμα, που εμφανίζει περιστροφική συμμετρία, απέδειξε πως έκαναν λάθος. Περιστρέφοντάς το κατά το ένα πέμπτο μιας πλήρους περιστροφής, καταλήγει να είναι το ίδιο σχήμα όπως πριν από την περιστροφή. Αντιθέτως, το διάγραμμα με τις 4 ελλείψεις δεν εμφανίζει περιστροφική συμμετρία. Τι είναι αυτό που έχουν κοινό το 3 και το 5 και δεν το έχει το 4;

Οι ελλείψεις είναι αποτελεσματικές για διαγράμματα με 4 ή 5 σύνολα, αλλά μετά αποτυγχάνουν το ίδιο όπως και οι κύκλοι. Οσο ο αριθμός των συνόλων αυξάνεται, τόσο πιο περίπλοκα πρέπει να είναι τα σχήματα που τα απεικονίζουν. Βέβαια, ήδη από τα 4 σύνολα, τα διαγράμματα αρχίζουν να γίνονται δυσανάγνωστα, αλλά οι μαθηματικοί διέκριναν στο ζήτημα ένα προκλητικό γεωμετρικό ερώτημα, που έγινε αφορμή για τη συνεχιζόμενη και σήμερα διερεύνηση της γεωμετρίας των διαγραμμάτων Venn.

Οπως απέδειξε το 1960 ένας φοιτητής, ο Ντ. Χέντερσον, συμμετρικά μπορούν να είναι τα διαγράμματα Venn που ο αριθμός των εικονιζόμενων συνόλων είναι πρώτος αριθμός, δηλαδή 2, 3, 5, αλλά όχι 4. Ο Χέντερσον δεν απέδειξε πως κάθε πρώτος αριθμός συνόλων μπορεί να απεικονιστεί ως διάγραμμα Venn. Αρχισε τότε ένας διαγωνισμός μεταξύ των μαθηματικών για διαγράμματα με όλο και μεγαλύτερο αριθμό συνόλων, μέχρι που το 2004 μαθηματικοί του Πανεπιστημίου της Νότιας Καρολίνας έδειξαν ότι υπάρχουν περιστροφικώς συμμετρικά διαγράμματα Venn για κάθε πρώτο αριθμό συνόλων. Τώρα η μαθηματική κοινότητα αναζητά σχήματα για τα διαγράμματα Venn με ακόμη πιο εκλεπτυσμένες ιδιότητες...