Σε πολλά - αλλά όχι όλα τα - σύνολα αριθμών του φυσικού κόσμου, το 30,1% των αριθμών αρχίζει από 1, το 17,6% από 2 κ.ο.κ. Ο νόμος του Μπένφορντ παραμένει σε ισχύ ακόμη και αν αλλάξει κανείς τις μονάδες μέτρησης των μεγεθών. Είτε μετρήσει τα μήκη των ποταμών σε μέτρα, είτε σε γιάρδες, είτε μετρήσει τις τιμές των μετοχών σε δολάρια ή δηνάρια, οι αναλογίες των αρχικών ψηφίων των αριθμών παραμένουν. Αν και οι μαθηματικοί έχουν προτείνει διάφορες εξηγήσεις για την εμφάνιση αυτού του φαινομένου, η τόσο μεγάλη έκτασή του δεν έχει βρει ακόμη κάποια απλή εξήγηση.
Ο νόμος του Μπένφορντ δεν είναι ένα απλό μαθηματικό αξιοπερίεργο, μια μαθηματική παραξενιά. Εχει χρησιμοποιηθεί για να βάλει ανθρώπους πίσω από τα σίδερα και να ανιχνεύσει μεγάλης κλίμακας απάτες. Ο οικονομικός σύμβουλος Γουέσλι Ρόουντς καταδικάστηκε ότι εξαπάτησε επενδυτές, όταν οι κατήγοροι υποστήριξαν στο δικαστήριο ότι οι αριθμοί στα έγγραφα του Ρόουντς δεν ήταν σύμφωνοι με την αναμενόμενη κατανομή αρχικών ψηφίων και γι' αυτό ήταν πιθανότατα κατασκευασμένοι. Ο νόμος του Μπένφορντ χρησιμοποιήθηκε για να αποκαλυφθεί η λειτουργία δικτύου botnet στα κοινωνικά δίκτυα, για τον πολιτικό επηρεασμό των συμμετεχόντων σε αυτά. Επιστήμονας παρατήρησε ότι ο αριθμός ακολούθων πολλών χρηστών δεν ακολουθούσε τον νόμο του Μπένφορντ, ενώ αργότερα εντόπισε με παρόμοιο τρόπο εκείνους τους χρήστες του Twitter που αγοράζουν ψεύτικα retweets. Με χρήση του ίδιου νόμου εντοπίστηκε η δημιουργική λογιστική στα μακροοικονομικά δεδομένα της Ελλάδας, στην υποβολή της αίτησης για συμμετοχή της στην Ευρωζώνη. Το μήνυμα είναι καθαρό: Οι πραγματικές διεργασίες γεννούν αριθμούς που ευνοούν τα μικρά αρχικά ψηφία, ενώ οι απλοϊκές μέθοδοι παραποίησης των δεδομένων δεν το κάνουν.
Γιατί όμως η φύση παράγει πλεόνασμα από άσσους στην αρχή των αριθμών και έλλειμμα από εννιάρια; Καταρχήν υπάρχουν σύνολα δεδομένων που δεν ακολουθούν τον νόμο του Μπένφορντ, όπως τα ύψη των ανθρώπων, όταν μετρώνται σε πόδια ή ίντσες. Η μπίλια στον τροχό μιας ρουλέτας έχει ίδια πιθανότητα να σταματήσει σε αριθμό που αρχίζει με 1 ή με 2. Ο νόμος του Μπένφορντ είναι πιθανότερο να εμφανίζεται σε σύνολα δεδομένων, με αριθμούς που εκτείνονται πολλές τάξεις μεγέθους (πολλαπλάσια του 10) και προκύπτουν από ορισμένες τυχαίες διαδικασίες.
Η εκθετική ανάπτυξη είναι ένα ιδιαίτερα καλό παράδειγμα. Φανταστείτε ένα νησί με αρχικό πληθυσμό 100 ζώων, ο οποίος διπλασιάζεται κάθε χρόνο. Μετά από ένα έτος θα υπάρχουν 200 ζώα, μετά από δύο έτη 400. Ηδη μπορεί να παρατηρήσει κανείς κάτι παράξενο ως προς τα αρχικά ψηφία. Για ολόκληρη την πρώτη χρονιά, το πρώτο ψηφίο του πληθυσμού των ζώων είναι 1. Τη δεύτερη χρονιά, όμως, το μέγεθος του πληθυσμού καλύπτει αριθμούς από το 200 έως το 399, αφήνοντας τον μισό χρόνο που μπορεί να κυριαρχήσει το καθένα από τα ψηφία 2 και 3 ως πρώτο ψηφίο. Αυτό γίνεται σε ακόμη μεγαλύτερη έκταση την τρίτη χρονιά, με τους αριθμούς από το 400 έως το 799. Γενικώς για την αύξηση από το 1.000 έως το 2.000 απαιτείται διπλασιασμός, ενώ για την αύξηση από 8.000 στο 9.000 η αύξηση είναι μόνο 12,5% και αυτή η τάση επαναλαμβάνεται για κάθε νέα τάξη μεγέθους. Δεν υπάρχει κάτι ιδιαίτερο με τις αρχικές παραμέτρους του παραδείγματος αυτού. Θα μπορούσαμε να είχαμε αρχίσει με 43 ζώα και έναν παράγοντα αύξησης κατά 1,3 φορές κάθε χρόνο, αλλά και πάλι θα είχαμε την ίδια κατανομή αρχικών ψηφίων. Σχεδόν οποιαδήποτε εκθετική αύξηση αυτού του τύπου τείνει να ακολουθεί τον νόμο του Μπένφορντ.
Η αδιαφορία του νόμου για τις μονάδες μέτρησης είναι μια ακόμη ένδειξη γιατί είναι τόσο κοινός στον φυσικό κόσμο. Τα μήκη των ποταμών ακολουθούν τον νόμο του Μπένφορντ, είτε τα μετρήσουμε σε χιλιόμετρα, είτε σε μίλια, ενώ τα ύψη των ανθρώπων δεν τον ακολουθούν, καθώς τα ύψη αλλάζουν ριζικά όταν αλλάξουμε μονάδα μέτρησης, για παράδειγμα κανείς άνθρωπος δεν έχει ύψος 4 μέτρα. Στην περίπτωση της μετατροπής από μίλια σε μέτρα, στην ουσία πολλαπλασιάζουμε κάθε αριθμό με το 1.609,34. Ομως ο νόμος του Μπένφορντ συνεχίζει να ισχύει ακόμη κι αν πολλαπλασιάσουμε κάθε αριθμό με έναν διαφορετικό αριθμό και όχι με έναν σταθερό, όπως το 1.609,34. Αυτό σημαίνει ότι αν ένα φυσικό φαινόμενο μετράται ως το γινόμενο διάφορων ανεξάρτητων μετρήσεων, μόνο μία από τις μετρούμενες ποσότητες χρειάζεται να ακολουθεί τον νόμο του Μπένφορντ, ώστε να τον ακολουθεί και το σύνθετο φυσικό φαινόμενο.
Ο μαθηματικός Τεντ Χιλ ανακάλυψε αυτό που πολλοί θεωρούν ως την οριστική απόδειξη του νόμου του αρχικού ψηφίου (όπως λέγεται αλλιώς ο νόμος του Μπένφορντ). Μια απλουστευτική περιγραφή της απόδειξης λέει ότι αν διαλέξεις μια ομάδα τυχαίων αριθμών από μια ομάδα τυχαίων συνόλων αριθμών (κατανομές πιθανοτήτων με μαθηματικούς όρους), τότε οι αριθμοί αυτοί θα τείνουν στον νόμο του Μπένφορντ. Γι' αυτό οι αριθμοί που μπορεί να συναντήσει κανείς σε μια εφημερίδα, ακολουθούν αυτόν τον νόμο.