ΘΕΜΑ 1ο

Α. Να αποδείξετε ότι ο ν^ος όρος μιας αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο α₁ και διαφορά ω είναι α_ν = α₁ + (ν-1)ω.

Μονάδες 7

Β. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Αν log_αΘ = x, τότε:

α. α^θ = x, β. χ^α = θ, γ. α^x = θ

Μονάδες 3

Γ. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Αν S_ν συμβολίζει το άθροισμα των πρώτων ν όρων μιας γεωμετρικής προόδου α_ν, με λόγο λ ------------1 και με πρώτο όρο α₁, τότε είναι:

-----------------------

Μονάδες 3

Δ. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Ο τύπος που εκφράζει την εφαπτομένη της γωνίας 2α είναι:

---------------------

Μονάδες 3

Ε. Να γράψετε στο τετράδιό σας τις παρακάτω προτάσεις ορθά συμπληρωμένες:

α. Ο βαθμός του γινομένου δύο μη μηδενικών πολυωνύμων είναι ίσος με το ...... των βαθμών των πολυωνύμων αυτών.

β. Τρεις μη μηδενικοί αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι ..... προόδου, αν και μόνο αν ισχύει β² = αγ.

γ. Αν α είναι ένας θετικός αριθμός και α --- 1, τότε η συνάρτηση f(x) = α^x έχει σύνολο τιμών το διάστημα .........

Μονάδες 9

ΘΕΜΑ 2ο

Για κάθε πραγματικό αριθμό x να αποδείξετε ότι:

συνx (ημ2x + 4ημx) = (συν2x + 4συνx + 1)ημx

Μονάδες 12

και να βρείτε εκείνους τους πραγματικούς αριθμούς x για τους οποίους

συν2x + 4συνx + 1 = 0

Μονάδες 13

ΘΕΜΑ 3ο

Δίνεται η ακολουθία με γενικό όρο α_ν = -11 + 2ν με πρώτο όρο α₁ καθώς και το πολυώνυμο Ρ(x) = x³ - 3x² - x + 3.

α. Να αποδείξετε ότι η ακολουθία α_ν είναι αριθμητική πρόοδος και έχει πρώτο όρο α₁ = -9 και διαφορά ω = 2.

Μονάδες 9

β. Να βρείτε το άθροισμα S = α₁₂ + α₁₃ + ... + α₂₁, όπου α₁₂, α₁₃, ..., α₂₁ είναι διαδοχικοί όροι της προόδου α_ν.

Μονάδες 7

γ. Να αποδείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης Ρ(x) = 0 είναι διαδοχικοί όροι της παραπάνω προόδου α_ν.

Μονάδες 9

ΘΕΜΑ 4ο

Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = ln(e^2x - 2e^x + 3) και g(x) = ln3 = ln(e^x - 1).

α. Να βρείτε τα πεδία ορισχμού των f(x) και g(x).

Μονάδες 6

β. Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x)

Μονάδες 10

γ. Να λύσετε την ανίσωση f(x) > 2g(x).

Μονάδες 9