Γεννήθηκε στον Πειραιά το 1936. Απορρίφθηκε από την Ανωτάτη Σχολή Καλών Τεχνών στην Αθήνα και έτσι το 1956 εγκαταστάθηκε στη Ρώμη, όπου σπούδασε στην Ακαδημία Καλών Τεχνών. Από τότε ζούσε και εργαζόταν στην Ιταλία. Δήλωνε Ιταλός ελληνικής καταγωγής. Την πρώτη του ατομική έκθεση πραγματοποίησε στην ιταλική πρωτεύουσα το 1960. Αργότερα έγινε καθηγητής στην Ακαδημία Καλών Τεχνών του Ντίσελντορφ.

Ηδη, από τις αρχές της δεκαετίας του 1960, ο Γιάννης Kουνέλλης εμφανίστηκε στο χώρο της σύγχρονης τέχνης με ένα ιδιότυπο, πολύ προσωπικό πλαστικό λεξιλόγιο, αρχικά προβάλλοντας μια κωδικοποιημένη γραφή, υπό τη μορφή γραμμάτων και εξισώσεων, ενώ στη συνέχεια με τη δημιουργία εικόνων αποτελούμενων από στοιχεία του πιο πρόσφατου βιομηχανικού - αστικού παρελθόντος. Εχει παρουσιάσει πλήθος εκθέσεων, από την Ευρώπης έως το Σικάγο, το Πεκίνο κ.α.

Επιστράτευε ακόμη και ζωντανά ζώα, όπως στη γνωστή εγκατάσταση με άλογα που παρουσίασε στη Ρώμη το 1969, επιχειρώντας να αμφισβητήσει το κατεστημένο καλλιτεχνικό στερέωμα, ενώ ταυτόχρονα αμφισβητήθηκε κι εκείνος γι' αυτές τις επιλογές. Χρησιμοποιούσε φωτιά, χώμα και χρυσό για τον αλχημιστικό τους συμβολισμό ή καφέ και κάρβουνο ως αναφορές στο εμπόριο, αλλά και ως χαρακτηριστικά στοιχεία του λιμανιού της πόλης που γεννήθηκε.

Το 1994 εκλέγεται καθηγητής στην Ακαδημία Καλών Τεχνών στο Ντίσελντορφ, όπου δίδαξε μέχρι το 2001. Το 2005 το Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης τον τίμησε αναγορεύοντάς τον επίτιμο διδάκτορα στο Τμήμα Αρχιτεκτόνων Μηχανικών.

Τα θερμά της συλλυπητήρια για το θάνατό του εκφράζει η ακαδημαϊκή κοινότητα της Ανωτάτης Σχολής Καλών Τεχνών και ανακοινώνει ότι σε ένδειξη πένθους θα παραμείνει κλειστή τη Δευτέρα 20 Φλεβάρη.