Πριν από σχεδόν 50 χρόνια, ο επιστήμονας των υπολογιστών Ντάγκλας Χόφσταντερ πρόβλεψε ότι μια «πεταλούδα» θα άπλωνε τα φτερά της στον κβαντικό κόσμο. Υπό τις κατάλληλες συνθήκες, τα μικροσκοπικά ηλεκτρόνια ενός κβαντικού συστήματος θα μπορούσαν να παράξουν ένα ενεργειακό φάσμα, που θα αποτελούνταν από φράκταλ (περίτεχνα αυτοόμοιες δομές, που εμφανίζουν το ίδιο μοτίβο σε οποιαδήποτε μεγέθυνση), παρόμοιο με πεταλούδα.

Πολλοί φυσικοί προσπάθησαν να δημιουργήσουν την «πεταλούδα του Χόφσταντερ», με διάφορους βαθμούς επιτυχίας. Το πρώτο τέτοιο φάσμα εμφανίστηκε πριν από 25 χρόνια. Η δυσκολία παρατήρησης του φαινομένου οφείλεται κατά ένα μέρος στο γεγονός ότι ο Χόφσταντερ υποστήριζε ότι θα χρειάζονταν κολοσσιαία μαγνητικά πεδία, πέραν των δυνατοτήτων οποιουδήποτε υπάρχοντος εργαστηρίου. Ετσι οι περισσότερες προσπάθειες έγιναν μέσω προσομοιώσεων σε υπολογιστή, ενώ όσοι αναζήτησαν την «πεταλούδα» σε φυσικά κβαντικά συστήματα, το έκαναν κυρίως με έμμεσες μετρήσεις.

Τώρα ίσως υπάρχει η πρώτη απευθείας παρατήρηση της «πεταλούδας», που εμφανίστηκε μέσα από τον σύνθετο κβαντικό «χορό» των ηλεκτρονίων που είναι εγκλωβισμένα - σαν τη γέμιση ενός σάντουιτς - ανάμεσα σε δύο στρώματα γραφενίου (μονοατομικά στρώματα άνθρακα). Το αποτέλεσμα γίνεται πιο εντυπωσιακό επειδή δεν ήταν κάτι αναμενόμενο, ούτε ήταν αυτό που αναζητούσαν οι ερευνητές.

Οι επιστήμονες, που εργάζονταν στο πανεπιστήμιο Πρίνσετον την εποχή διεξαγωγής των πειραμάτων, μελετούσαν την υπεραγωγιμότητα στο γραφένιο, δηλαδή την ιδιότητα της ύλης υπό ορισμένες συνθήκες να επιτρέπει την ελεύθερη χωρίς αντίσταση ροή των ηλεκτρονίων στο εσωτερικό της. Για τον σκοπό αυτό έβαλαν ένα μονοατομικό φύλλο γραφενίου πάνω σε ένα άλλο και περιέστρεψαν το ένα από τα δύο κατά 1,1 μοίρες, έτσι ώστε τα εξάγωνα που σχηματίζουν τα άτομα άνθρακα στο γραφένιο να μην επικαλύπτονται επακριβώς, αλλά να σχηματίζεται μια διάταξη «μαγικής γωνίας» μεταξύ τους. Οταν αυτή η διάταξη υποβλήθηκε σε μαγνητικό πεδίο, τα ηλεκτρόνια σε κάθε φύλλο πηγαινοέρχονταν από το ένα στο άλλο άτομο άνθρακα, επιδεικνύοντας υπεραγωγιμότητα και άλλες ασυνήθιστες ιδιότητες.

Η τέτοια διάταξη φύλλων γραφενίου είναι μια διαδικασία που συχνά αποτυγχάνει, γι' αυτό και πάντα οι ερευνητές έλεγχαν τη δουλειά τους με τη βοήθεια ενός μικροσκοπίου σάρωσης σήραγγας (STM). Οι εικόνες του μικροσκοπίου αυτού μπορούν να δείξουν τη ροή των ηλεκτρονίων και άρα την επίτευξη της «μαγικής γωνίας». Και στο πείραμα του Πρίνσετον σε πολλές περιπτώσεις η γωνία που πετύχαιναν ήταν μικρότερη της 1,1 μοίρας. Επειδή, όμως, η γωνία ήταν κοντά σε μια άλλη μικρότερη «μαγική γωνία», οι ερευνητές αποφάσισαν να συνεχίσουν τη μελέτη με το STM και σε αυτές τις περιπτώσεις. Σχημάτισαν έτσι ένα διάγραμμα που δείχνει πώς η ενέργεια των ηλεκτρονίων αλλάζει ως συνάρτηση του μαγνητικού πεδίου, παρατηρώντας συγκέντρωση των σημείων του διαγράμματος σε ξεχωριστές ηλεκτρονικές ζώνες Χόφσταντερ.

Ο Κέβιν Νάκολς που τώρα εργάζεται στο Τεχνολογικό Ινστιτούτο της Μασαχουσέτης (MIT) και οι συνάδελφοί του μπόρεσαν να παρατηρήσουν ότι τα μοτίβα των ενεργειακών επιπέδων των ηλεκτρονίων επαναλαμβάνονταν σε διαφορετικές κλίμακες, όπως θα συνέβαινε στην περίπτωση σχηματισμού της «πεταλούδας του Χόφσταντερ». Σε προηγούμενα πειράματα δεν παρατηρούνταν απευθείας οι ενεργειακοί μετασχηματισμοί των ηλεκτρονίων καθώς μεταβαλλόταν το μαγνητικό πεδίο, αλλά έμμεσα μεγέθη, όπως η χωρική κατανομή των ηλεκτρονίων.

Οι ερευνητές προσπαθούν τώρα να εξηγήσουν όλες τις πλευρές και να ανακαλύψουν τις αιτίες του φαινομένου που παρατήρησαν, ενώ ελπίζουν ότι τα πειράματά τους θα ανοίξουν τον δρόμο για τη μελέτη του φαινομένου και σε άλλα συστήματα και υλικά. Από την πλευρά του, ο ίδιος ο Χόφσταντερ, ηλικίας 80 ετών σήμερα, δήλωσε σχετικά όταν ρωτήθηκε: «Στο πέρασμα των χρόνων έχω δει πολλούς ισχυρισμούς για την πειραματική "αναπαραγωγή" της προβλεπόμενης αναδρομικότητας (σ.σ. των φράκταλ της «πεταλούδας»). Αλλά όλοι είναι εξαιρετικά "χονδρόκοκκοι" και κανένας δεν πλησίασε να ανιχνεύσει μια πραγματικά αναδρομική φωλιασμένη δομή. Αυτό ίσως συμβεί σε μερικές δεκαετίες - αν η ανθρωπότητα συνεχίζει να υπάρχει έως τότε».

Ο Νάκολς δηλώνει ικανοποιημένος που ασχολείται με μια πρόβλεψη που έγινε πριν από μισό αιώνα και που εκείνος που την έκανε θεωρούσε ότι ποτέ δεν θα γίνει εφικτό να παρατηρηθεί στη φύση. Θεωρεί ότι η δουλειά που έκανε με τους συναδέλφους του, προχωρεί παραπέρα τις πρώτες ενδείξεις ανακάλυψης της «πεταλούδας του Χόφσταντερ», που έγιναν πριν από 25 χρόνια και είναι αποφασισμένος να διερευνήσει επακριβώς τις προβλέψεις του Χόφσταντερ, σε υψηλότερες ενέργειες και διαφορετικά υλικά.

To 1902, o Χένρι Ντούντεναϊ, ένας αυτοδίδακτος Εγγλέζος μαθηματικός, που δημοσίευε μαθηματικά παζλ σε εφημερίδα, ζήτησε από τους αναγνώστες να κομματιάσουν ένα ισόπλευρο τρίγωνο στον μικρότερο αριθμό κομματιών, που θα μπορούσαν να αναδιαταχθούν, ώστε να σχηματίσουν ένα τετράγωνο. Δυο βδομάδες μετά ανακοίνωσε πως ένας υπάλληλος από το Μάντσεστερ, ο Τσαρλς Γουίλιαμ ΜακΕλρόι, είχε βρει μια λύση με τέσσερα κομμάτια. Κανένας άλλος από τους αναγνώστες και κανένας άλλος, μαθηματικός ή μη, δεν βρήκε λύση με τρία κομμάτια τα επόμενα 122 χρόνια, σε αυτό που ονομάστηκε «ανατομή του Ντούντεναϊ».

Την απάντηση έδωσαν ο Ιάπωνας μαθηματικός Τόναν Καμάτα, μαζί με δύο συναδέλφους του, τον επίσης Ιάπωνα Ριουχέι Ουεχάρα και τον Ερικ Ντιμέιν του MIT, που απέδειξαν ότι λύση με λιγότερα, δηλαδή τρία ή δύο κομμάτια δεν υπάρχει. Ο Καμάτα είχε μαγευτεί από το πρόβλημα όταν το είδε σε μορφή οριγκάμι σε μια έκθεση. «Πιστεύω ότι πολλοί απ' όσους εκτιμούν τα μαθηματικά θα συμφωνήσουν ότι όσο απλούστερο φαίνεται ένα άλυτο πρόβλημα, τόσο πιο πολύ ελκύει αυτούς που αγαπούν τα μαθηματικά», δήλωσε.

Μία πλευρά του προβλήματος είναι απλή: Λύση με δύο κομμάτια μπορεί να αποκλειστεί. Το τρίγωνο και το τετράγωνο πρέπει να έχουν ίσα εμβαδά, αφού τα κομμάτια που τα απαρτίζουν είναι τα ίδια. Για το τετράγωνο η πιο μακριά γραμμή χωρισμού του είναι η διαγώνιος. Με απλά μαθηματικά μπορεί να αποδειχτεί ότι το μήκος της διαγωνίου είναι πολύ μικρό για να αποτελέσει πλευρά του ισόπλευρου τριγώνου που έχει ίσο εμβαδό με αυτό.

Η απόδειξη ότι δεν υπάρχει λύση με τρία κομμάτια είναι πολύ πιο δύσκολη και αυτός είναι ο λόγος της υπεραιωνόβιας καθυστέρησης στην επίλυση. Υπάρχει άπειρος αριθμός τρόπων να κοπεί το τρίγωνο, με κάθε κομμάτι να έχει οποιονδήποτε αριθμό ακμών και οι συντεταγμένες αυτών των τομών να αρχίζουν σε τυχαία σημεία.

Για να αντιμετωπίσει το πρόβλημα, η ομάδα κατηγοριοποίησε τις τομές ενός ισόπλευρου τριγώνου με βάση τον τρόπο που οι τομές τέμνουν τις πλευρές του τριγώνου. Πρώτα κατηγοριοποίησαν την απειρία των τρόπων που το τρίγωνο μπορεί να κοπεί σε 5 μοναδικές κατηγορίες. Μετά επανέλαβαν την άσκηση για το τετράγωνο και βρήκαν 38 μοναδικούς τρόπους ανατομής του.

Στη συνέχεια προσπάθησαν να ταιριάξουν ένα τριγωνικό γράφημα σε ένα γράφημα τετραγώνου, ακολουθώντας όλες τις διαδρομές κάθε σχήματος και συγκρίνοντας τις προκύπτουσες συλλογές ακμών και γωνιών. Αν έβρισκαν ένα ταίριασμα, τότε θα είχαν βρει μια λύση με τρία κομμάτια.

Αυτή η προσέγγιση μετέτρεψε το αρχικό συνεχές πρόβλημα σε ένα διακριτό, κατά βάση. Μέσα σε κάθε κατηγοριοποίηση υπήρχαν άπειρα σημεία όπου οι πλευρές θα μπορούσαν να καταλήγουν. Στο τέλος, η ερευνητική ομάδα κατάστρωσε μια συλλογή από σύνθετα λήμματα, δηλαδή ενδιάμεσα βήματα ενός θεωρήματος. Μαζί με τις κατηγορίες και χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της απόδειξης με αντίφαση, κατέληξαν στο συμπέρασμα ότι δεν υπάρχει τρόπος «ανατομής του Ντούντεναϊ» με τρία κομμάτια.