Οι πρώτοι αριθμοί, δηλαδή οι θετικοί ακέραιοι, που διαιρούνται ακριβώς μόνο με το 1 και τον εαυτό τους (π.χ. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ...) παίζουν σημαντικό ρόλο στην κρυπτογραφία και σε άλλους τομείς. Πέρα από αυτές τις σύγχρονες χρήσεις, οι πρώτοι αριθμοί από την αρχαιότητα ήταν πόλος έλξης του ενδιαφέροντος των φυσικών φιλοσόφων και αργότερα των μαθηματικών, καθώς παρουσιάζουν ιδιαίτερα χαρακτηριστικά. Ενα απ' αυτά, που συνεχίζει να αποτελεί αίνιγμα και για τους σύγχρονους μαθηματικούς που ειδικεύονται στη θεωρία αριθμών, είναι η εικασία των δίδυμων πρώτων αριθμών.

Πρόκειται για μια εικασία που, όπως συμβαίνει συχνά στα Μαθηματικά, είναι εύκολο να την καταλάβεις αλλά εξαιρετικά δύσκολο να την αποδείξεις. Δίδυμοι πρώτοι αριθμοί είναι οι πρώτοι αριθμοί μεταξύ των οποίων παρεμβάλλεται μόνο ένας άλλος αριθμός. Ο παρεμβαλλόμενος αριθμός είναι σύνθετος (όχι πρώτος), δηλαδή μπορεί να αναλυθεί σε γινόμενο πρώτων παραγόντων και πάντα ζυγός, αφού ο μόνος ζυγός αριθμός που είναι πρώτος είναι το 2. Τέτοιοι δίδυμοι πρώτοι είναι το 3 και το 5, το 5 και το 7, το 17 και το 19. Μπορεί να βρει κανείς πολλούς δίδυμους στους μικρούς αριθμούς, αλλά όταν οι αριθμοί μεγαλώνουν οι δίδυμοι σπανίζουν όλο και περισσότερο. Αυτό δεν αποτελεί έκπληξη, καθώς οι πρώτοι αριθμοί είναι αυξανόμενα σπάνιοι μεταξύ των μεγάλων αριθμών. Ωστόσο, γνωρίζουμε από την αρχαιότητα ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί, και η εικασία των δίδυμων πρώτων λέει ότι υπάρχουν και άπειροι δίδυμοι πρώτοι αριθμοί.

Την απόδειξη της απειρίας των πρώτων αριθμών την έδωσε ο Ευκλείδης πριν 2.000 και πλέον χρόνια, με ένα πείραμα σκέψης: Ας υποθέσουμε ότι υπήρχε πεπερασμένος αριθμός πρώτων αριθμών, με τον μεγαλύτερο να είναι ο ρ. Τότε όλοι οι πρώτοι αριθμοί έως τον ρ θα μπορούσαν να πολλαπλασιαστούν μεταξύ τους και στο γινόμενο να προσθέσουμε το 1. Το άθροισμα δεν θα μπορούσε να διαιρεθεί με κανέναν από τους πρώτους αριθμούς. Αλλά αυτό σημαίνει ότι το άθροισμα ή θα ήταν πρώτος αριθμός, ή θα είχε πρώτους παράγοντες που δεν εμφανίζονται στο σύνολο των πρώτων αριθμών έως τον ρ. Αρα, πάντα μπορούν να κατασκευαστούν επιπλέον πρώτοι αριθμοί. Κατά συνέπεια, υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί.

Μυστήριο παραμένει η κατανομή των πρώτων αριθμών στη γραμμή των αριθμών. Κατά μέσο όρο η απόσταση μεταξύ διαδοχικών πρώτων αριθμών ισούται με τον φυσικό λογάριθμο του μικρότερου απ' αυτούς. Για το 19 η απόσταση είναι περίπου 3. Για τον πρώτο αριθμό 2.147.483.647 είναι 22, ενώ για έναν πρώτο με 183 ψηφία η απόσταση είναι 420. Ακριβώς επειδή η μέση απόσταση μεταξύ των διαδοχικών πρώτων αριθμών μεγαλώνει όσο μεγαλώνουν οι αριθμοί, οι δίδυμοι πρώτοι, που απέχουν μόνο έναν ενδιάμεσο αριθμό, είναι τόσο ενδιαφέροντες για τους μαθηματικούς. Μήπως υπάρχει ένα όριο πέρα από το οποίο δεν συναντώνται πια δίδυμοι πρώτοι; Οι περισσότεροι ειδικοί διαφωνούν με το ενδεχόμενο ύπαρξης ενός τέτοιου αυθαίρετου ορίου.

Με τη βοήθεια ηλεκτρονικών υπολογιστών, το μέχρι τώρα μεγαλύτερο ζεύγος δίδυμων πρώτων αριθμών που έχει εντοπιστεί αποτελείται από 388.342 ψηφία. Ομως η έρευνα με υπολογιστές δεν πρόκειται ποτέ να αποδείξει την απειρία των δίδυμων πρώτων. Ενας άγνωστος έως το 2013 μαθηματικός, ο Γιτάνγκ Ζανγκ, κατάφερε με μελέτη που δημοσίευσε να αποδείξει όχι την εικασία της απειρίας των διδύμων, αλλά ότι υπάρχουν άπειρα ζευγάρια πρώτων αριθμών οι οποίοι απέχουν λιγότερο από 70 εκατομμύρια. Η απόδειξη αυτή ήταν τεράστιο βήμα προς τα μπρος, καθώς οι μαθηματικοί ενδιαφέρονται και για άλλα ζευγάρια πρώτων, όπως εκείνα που απέχουν 4 αριθμούς και ονομάζονται ξαδέρφια πρώτοι αριθμοί.

Ο Ζανγκ χρησιμοποίησε μια μεθοδολογία ανάλογη με το γνωστό από την αρχαιότητα κόσκινο του Ερατοσθένη, όπου σε έναν πίνακα με τους φυσικούς αριθμούς αρχίζει κανείς να διαγράφει τα πολλαπλάσια του πρώτου πρώτου αριθμού, δηλαδή του 2, μετά τα πολλαπλάσια του επόμενου, δηλαδή του 3, κ.ο.κ., μέχρι που στον πίνακα απομένουν μόνο οι πρώτοι αριθμοί που περιείχε. Ομως το κόσκινο του Ερατοσθένη δεν μπορεί να εφαρμοστεί για γενικές δηλώσεις σχετικά με τους πρώτους αριθμούς. Γι' αυτό ο Ζανγκ χρησιμοποίησε μια παραλλαγή του, για να «κοσκινίσει» μόνο τους αριθμούς που διαιρούνται με μεγάλους πρώτους αριθμούς. Λίγο καιρό μετά την επιστημονική δημοσίευση του Ζανγκ, άλλοι μαθηματικοί κατάφεραν να περιορίσουν την απόσταση από 70.000.000 σε 246, ρεκόρ που δεν έχει σπάσει μέχρι σήμερα. Αυτό σημαίνει ότι αν δεις όλα τα ζευγάρια πρώτων αριθμών που απέχουν μεταξύ τους μέχρι 246 αριθμούς, τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα τέτοιο ζευγάρι που εμφανίζεται άπειρες φορές. Ωστόσο η απειρία των δίδυμων πρώτων δεν έχει αποδειχθεί ακόμα.